В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение:

Пусть планируется взять кредит на n лет. Разберемся, как же будет происходить погашение суммы в 16 млн рублей с процентной ставкой 25% годовых. Делим 16 млн рублей на n и получаем ежегодную сумму платежа без процентов, которую обозначим через х, т.е. х = 16/n , а 16 = xn. Проценты начисляют на остаток долга.

Таким образом, в июле (когда и дали эти 16 млн рублей) сумма долга составляла xn рублей, а в январе насчитали на эту сумму 25%, и нужно выплатить, помимо основного ежегодного платежа (х млн рублей) еще и проценты. Это 0,25 xn млн рублей за первый год.

Далее в июле выплачиваем х млн рублей, и основной долг составит xn-х, т.е х(n-1). В январе на эту сумму будет насчитано 25%, и это 0,25х(n-1) млн рублей процентов за второй год. За третий год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-2) млн рублей процентов. За четвертый год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-3) млн рублей процентов. Смотрите таблицу.

Далее суммируются все проценты с остатка основного долга, делятся на n — количество лет займа. Получается сумма p, которую добавляют к ежегодной выплате х млн рублей, и клиент ежегодно выплачивает равными долями по (x+p) млн рублей. Но это в данной задаче нас не будет интересовать, хотя… задумайтесь: банковские клерки любят говорить, что проценты начисляются на остаток займа, но умалчивают о том, что засчитывают в качестве ежегодной выплаты сумму х, а не сумму (x+p), после выплаты которой остаток был бы меньше, значит, и процентов набежало бы меньше… понимаете? А что вы должны понять? То, что фактически вы выплачиваете банку не 25% годовых, а гораздо больше. Может быть, вам и дают такие задачи, чтобы вы решили для себя, лезть вам в будущем в петлю займов-кредитов или жить по средствам.

Вернемся к задаче. По условию взяли 16 млн рублей, а через n лет вернули 38 млн рублей, значит, набежало 22 млн рублей процентов. Подсчитаем количество процентов (с остатков основного долга):

0,25xn+0,25x(n-1)+0,25x(n-2)+0,25x(n-3)+0,25x(n-4)+…+0,25∙3x+0,25∙2x+0,25x.

Вынесем 0,25х за скобки.

0,25х(n+ (n-1)+ (n-2)+ (n-3)+ (n-4)+…+3+2+1). В скобках мы имеем сумму арифметической прогрессии, которую вычислим по формуле: