Задача. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объем пирамиды.
Решение
Чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, сначала определим площадь её основания. Основание состоит из шести равносторонних треугольников с длиной стороны 3. Площадь одного равностороннего треугольника вычисляется по формуле \displaystyle \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}, где a — сторона треугольника.
Подставляя значение стороны, получаем площадь одного треугольника как \displaystyle \frac{3^2 \sqrt{3}}{4}. Умножив эту площадь на 6, мы находим площадь всего основания пирамиды.
Далее, нам необходимо вычислить высоту пирамиды. Высота проецируется из вершины пирамиды на центр её основания, формируя прямоугольный треугольник, где высота пирамиды — это один из катетов, расстояние от центра основания до вершины — равно длине стороны основания — второй катет, а боковое ребро пирамиды — гипотенуза.
По теореме Пифагора, высоту пирамиды можно найти, как h = \sqrt{6^2 - 3^2}, что дает нам h = 3\sqrt{3}.
Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды, мы можем вычислить её объем по формуле объема пирамиды \displaystyle V = \frac{1}{3}Sh, где S — площадь основания, а h — высота. Подставляем найденные значения в формулу и получаем объем пирамиды.
Подставляя числовые значения, получаем:
\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 3\sqrt{3}= \frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{3}= 40,5
Таким образом, объем данной правильной шестиугольной пирамиды составляет 40,5 кубических единиц.
Ответ: 40,5.
