В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22 %.

а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение:

Давайте разберемся с задачей пошагово.

В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22 %.

а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?

Чтобы узнать, возьмем максимальное количество учеников в классе, равное 28, и вычислим 22% от этого числа:

0,22 \cdot 28 = 6,16

Таким образом, максимальное количество девочек в классе — 6. Значит, 4 девочки вполне возможно.

б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придет новая девочка?

Рассмотрим случай, когда в классе 10 учеников (минимум) и к ним приходит новая девочка:

10 + 1 = 11 учеников всего.

Если было 4 девочки, теперь их станет 5. Доля девочек:

\displaystyle \frac{5}{11} \approx 0,4545

или

45,45

Если было 3 девочки, теперь их станет 4. Доля девочек:

\displaystyle \frac{4}{11} \approx 0,3636

или

36,36

И так далее.

Как мы видим, даже в минимальном случае доля девочек превышает 30%. Значит, ответ — нет.

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Пусть до прихода новой девочки в классе было $n$ учеников и $x$ девочек. Тогда после прихода новой девочки будет $n + 1$ учеников и $x + 1$ девочек. Доля девочек составляет:

\displaystyle \frac{x + 1}{n + 1} \cdot 100%

Так как это число должно быть целым, мы можем перебрать возможные значения $n$ от 10 до 28 и проверить, при каком из них доля девочек будет целым числом и наибольшей.

При этом учтем, что максимальная доля девочек до прихода новой девочки составляет 22%, и найдем соответствующее максимальное значение $x$ для каждого $n$ .

После перебора всех возможных вариантов выясняется, что наибольшая доля девочек, которая может составить целое число, равна 25% (для 27 учеников с 6 девочками до прихода новой (смотрите пункт a — 6 девочек при 27 учениках — это максимальное количество девочек при условии, что их не более 22%) и 28 учеников с 7 девочками после): $\displaystyle \frac{6+1}{27+1}=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}=0,25.$

Ответ:
а) Да.
б) Нет.
в) 25%.