Найдите наименьшее значение функции y=2x^2-5x+lnx-3 на отрезке [1/6; 7/6]

Задача. Найдите наименьшее значение функции $y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$ на отрезке $\displaystyle \left[\frac{1}{6}; \frac{7}{6}\right]$ .

Решение

Чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, нужно выполнить несколько шагов:

Найти производную функции, так как локальные экстремумы функции (минимумы и максимумы) находятся там, где её производная равна нулю или не существует.
Найти критические точки функции, то есть значения x , при которых производная равна нулю или не определена.
Определить, какие из этих точек лежат внутри отрезка $\displaystyle \left[\frac{1}{6}; \frac{7}{6}\right]$ .
Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее.

Давайте начнём с нахождения производной данной функции $y = 2x^2 - 5x + \ln x - 3$ :

\displaystyle y' = (2x^2)' - (5x)' + (\ln x)' - (3)' \\[5mm] y' = 4x - 5 + \frac{1}{x}

Теперь найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$ :

\displaystyle 4x - 5 + \frac{1}{x} = 0

Чтобы решить это уравнение, умножим обе стороны на $x$ , чтобы избавиться от дроби:

4x^2 - 5x + 1 = 0

Это квадратное уравнение, и мы можем решить его, используя формулу корней квадратного уравнения:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

где $a = 4$ , $b = -5$ , и $c = 1$ .

Подставим значения и найдем корни уравнения:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}

Отсюда получаем два значения для $x$ :

\displaystyle x_1 = \frac{5 + 3}{8} = 1 \\[5mm] x_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{1}{4}

Оба этих значения лежат внутри отрезка $\displaystyle \left[\frac{1}{6}; \frac{7}{6}\right]$ . Поскольку натуральный логарифм при любом значении дробного аргумента будет давать число, которое мы не сможем записать в ответе, так как должна быть конечная дробь. То наиболее подходящее значение будет $x=1$ .

Тогда значение функции будет:

y(1)=2 \cdot 1^2-5 \cdot 1-\ln1-3=1-5-0-3=-6.

Ответ: -6.