Задача. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите её среднюю линию.
Решение
Сделаем новый рисунок к задаче. Отметим точки трапеции и высоту трапеции проведем посередине.
Рассмотрим треугольник AOD. Это прямоугольный равнобедренный треугольник. Прямоугольный потому, что диагонали трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. Равнобедренный, потому что у нас равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции диагонали наклонены к основанию трапеции под одним и тем же углом. Углы при основании равны и равны по 45 градусов, так как угол AOD прямой, значит, треугольник AOB равнобедренный.
Высота ON в равнобедренном треугольнике AOD будет также биссектрисой и медианой. Точка N — середина стороны AD. А углы AON и DON равны по 45 градусов каждый, так как биссектриса ON разделила прямой угол AOD пополам.
Получается, что треугольники AON и NOD равны и равнобедренны. Ведь в основании у них два равных угла. А в вершине N — прямой угол. У равнобедренного треугольника две стороны равны, и, таким образом, ON=ND=AN=AD/2.
Аналогично рассуждая, приходим к тому что OM=BM=MC=BC/2.
Тогда высота трапеции MN:
MN=OM+ON
MN=AD/2+BC/2=(AD+BC)/2
То есть, высота трапеции равна полусумме ее оснований. Средняя линяя трапеции тоже равна полусумме оснований трапеции. Выходит, что высота трапеции ABCD будет равна ее средней линии. То есть средняя линия трапеции будет 48.
Ответ: 48.
