В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика.

В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по-прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков. ЕГЭ

Задача. В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по-прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков.

Решение

Для того, чтобы в верхнем ящике стола ничего не изменилось, девочки должны брать одинаковые кубики. То есть Аня берет белый и белый кубики и Оля берет белый и белый кубики. Возможны три случая:

  1. Аня и Оля берут по два белых кубика
  2. Аня и Оля берут по два черных кубика
  3. Аня и Оля берут по одному черному кубику и по одному синему кубику.

Теперь рассчитаем вероятность каждого случая и сложим их.

Два белых кубика

Рассчитаем вероятность того, что Аня вытащит два белых кубика из верхнего ящика. Верхний ящик содержит 10 белых и 15 черных кубиков, всего 25 кубиков. Вероятность вытащить один белый кубик равна 10/25. После того как один белый кубик был вытащен, в ящике останется 9 белых и 15 черных кубиков, всего 24 кубика. Тогда вероятность вытащить второй белый кубик равна 9/24. Вероятность того, что оба вытащенных кубика будут белыми, равна произведению этих двух вероятностей:

\displaystyle P_1 = \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24}

Теперь рассчитаем вероятность того, что Оля вытащит два белых кубика из нижнего ящика. В нижнем ящике 15 белых кубиков из 25, поэтому вероятность вытащить один белый кубик равна  \displaystyle \frac{15}{25}. После того как один белый кубик вытащен, в ящике остаётся 14 белых кубиков из общего количества 24 кубиков, поэтому вероятность вытащить второй белый кубик равна \displaystyle \frac{14}{24}. Вероятность вытащить два белых кубика подряд равна произведению этих двух вероятностей:

\displaystyle P_2 = \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24}

Так как Аня и Оля действуют независимо друг от друга, итоговая вероятность того, что Аня вытащит два белых и Оля два белых кубика, равна произведению вероятностей:

\displaystyle P_{два \ белых \ кубика} = P_1 \cdot P_2 = \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24}

Два черных кубика

Найдем вероятность того, что Аня вытащит два черных кубика из верхнего ящика. Вероятность вытащить один черный кубик равна 15/25, а вероятность вытащить второй черный кубик будет уже 14/24. Тогда общая вероятность того, что Аня вытащит два черных кубика будет:

\displaystyle P_3= \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24}

Теперь рассчитаем вероятность того, что Оля вытащит два черных кубика из нижнего ящика. Нижний ящик содержит 15 белых и 10 черных кубиков, всего 25 кубиков. Вероятность вытащить один черный кубик равна 10/25. После того как один черный кубик был вытащен, в ящике останется 15 белых и 9 черных кубиков, всего 24 кубика. Тогда вероятность вытащить второй черный кубик равна 9/24. Вероятность того, что оба вытащенных кубика будут черными, равна произведению этих двух вероятностей:

\displaystyle P_4 = \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24}

Вероятность того, что девочки вытащат по два черных кубика будет равна произведению вероятностей P_3 и P_4:

\displaystyle P_{два \ чёрных \ кубика} = P_3 \cdot P_4 = \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24} \cdot \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24}

Один черный и один белый

Аня может вытащить один черный кубик и один белый двумя способами — сначала черный потом белый или сначала белый, потом черный. Вероятность события «сначала белый потом черный»:

\displaystyle P_5= \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{24}

Вероятность события «сначала черный потом белый»:

\displaystyle P_6=\frac{15}{25} \cdot \frac{10}{24}

Складываем эти вероятности, так как они не могут произойти совместно:

\displaystyle P_{Аня \ один \ черный \ один \ белый}= 2 \frac{15\cdot 10}{25 \cdot 24}

Аналогично рассуждая, находим вероятность события «Оля взяла один черный и один белый кубики»:

\displaystyle P_{Оля \ один \ черный \ один \ белый}= 2 \frac{10 \cdot 15}{25 \cdot 24}

Так как события «Аня взяла черный и белый кубики» и «Оля взяла черный и белый кубики» независимы, то вероятности этих событий умножаются:

\displaystyle P_{чёрный \ и \ белый \ кубики} = 2 \frac{15\cdot 10}{25 \cdot 24} \cdot 2 \frac{10 \cdot 15}{25 \cdot 24}

Общая вероятность

Так как мы нашли вероятности всех трех случаев и эти случаи несовместные, то для того, чтобы найти искомую вероятность, надо сложить вероятности всех трех возможных благоприятных событий:

\displaystyle P= \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24}+\frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24} \cdot \frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24}+2 \frac{15\cdot 10}{25 \cdot 24} \cdot 2 \frac{10 \cdot 15}{25 \cdot 24}

Упростим это выражение и вычислим вероятность.

\displaystyle P= 2\frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} \cdot \frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24}+2 \frac{15\cdot 10}{25 \cdot 24} \cdot 2 \frac{10 \cdot 15}{25 \cdot 24}=\\[5mm] = \frac{2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 9 + 10 \cdot 15 \cdot 2 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2}{25^2 \cdot 24^2} = \\[5mm] = \frac{2 \cdot  10 \cdot  15 (9 \cdot  14+ 2 \cdot  10 \cdot  15)}{25^2 \cdot 24^2} = \\[5mm] = \frac{2 \cdot  10 \cdot  15 \cdot  6 (21+50)}{25^2 \cdot 24^2}= \frac{71}{25 \cdot  8}=\frac{71}{200}=0,355

Ответ: 0,355

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
1 Комментарий
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Миша
Миша
4 месяцев назад

Спасибо.