Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 11t

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1 + 11t — 5t^2

Задача. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1 + 11t - 5t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение

Для решения задачи нам нужно найти, в течение какого времени высота мяча $h(t)$ будет не менее 3 метров. Задана функция высоты мяча $h(t) = 1 + 11t - 5t^2$ .

Сначала найдём, при каких значениях t высота мяча будет ровно 3 метра, то есть решим уравнение h(t) = 3 :

1 + 11t - 5t^2 = 3

Преобразуем уравнение:

5t^2 - 11t + 2 = 0

Это квадратное уравнение, и мы можем найти его корни через дискриминант D :

D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81

Корни уравнения находим по формуле:

\displaystyle t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\ t_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{10} \\ t_{1} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \\ t_{2} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2

Мы получили два момента времени, когда мяч находится на высоте 3 метра: в $t = 0,2$ секунды и $t = 2$ секунды. Мяч поднимается вверх до максимальной высоты, а затем падает вниз, так что высота мяча будет 3 метра или больше между этими двумя значениями времени.

Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров в течение $2 - 0,2 = 1,8$ секунды.

Ответ: 1,8.