Задача. Найдите точку минимума функции \displaystyle y = \frac{4}{3}x\sqrt{x} - 5x + 4 .
Решение
Для нахождения точки минимума функции \displaystyle y = \frac{4}{3}x\sqrt{x} - 5x + 4 необходимо сначала найти производную функции, а затем определить, при каких значениях x производная равна нулю, и являются ли эти точки точками минимума.
Найдем производную функции y по x:
\displaystyle y' = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 5 \\[5mm] y' = 2x^{\frac{1}{2}} - 5Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:
\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0 \\[5mm] 2x^{\frac{1}{2}} = 5 \\[5mm] x^{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2} \\[5mm] x = \left(\frac{5}{2}\right)^2 \\[5mm] x = \frac{25}{4} \\[5mm]x = 6,25Теперь необходимо убедиться, что это значение является точкой минимума. Для этого проверим вторую производную функции:
\displaystyle y'' = (y)'=(2x^{\frac{1}{2}} - 5) \\[5mm] y'' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \\[5mm] y'' = x^{-\frac{1}{2}}Подставим x = 6,25 во вторую производную:
\displaystyle y''(6,25) = (6,25)^{-\frac{1}{2}} \\[5mm] y''(6,25) > 0Поскольку вторая производная положительна, точка x = 6,25 является точкой минимума функции.
Таким образом, точка минимума функции \displaystyle y = \frac{4}{3}x\sqrt{x} - 5x + 4 равна x = 6,25.
Ответ: 6,25.
