В правильной треугольной пирамиде SABC точка M середина ребра BC S вершина

Задача по геометрии: в правильной треугольной пирамиде SABC точка M середина ребра BC S — вершина

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M середина ребра BC S вершина. Известно что SM=5, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка АВ.

Решение: Нарисуем пирамиду и отметим на ней все указанные в условии точки. Так как пирамида правильная — в основании у нее лежит правильный треугольник ABC, все стороны которого равны $AB=BC=AC=a$ . Площадь боковой поверхности такой пирамиды — это сумма площадей треугольников SAB, SBC и SAC. Так как основания этих треугольников равны, а вершина пирамиды равноудалена от сторон ее основания, то и сами треугольники равны и являются в правильной пирамиде равнобедренными, то есть мы можем взять любой из треугольников SAB, SBC или SAC, например, удобнее взять треугольник SBC. Так как в нем дана высота SM (M — середина основания равнобедренного треугольника SBC, то есть SM=h — медиана — является также высотой и биссектрисой). Площадь треугольника SBC: $S_{SBC}=\frac{1}{2} \cdot SM \cdot a$ . Площадь боковой поверхности такой пирамиды — это сумма площадей треугольников SAB, SBC и SAC. Так как основания этих треугольников равны, а вершина пирамиды равноудалена от сторон ее основания, то и сами треугольники равны и являются в правильной пирамиде равнобедренными, то есть мы можем взять любой из треугольников SAB, SBC или SAC, например, удобнее взять треугольник SBC. Так как в нем дана высота SM (M — середина основания равнобедренного треугольника SBC, то есть SM=h — медиана — является также высотой и биссектрисой). Площадь треугольника SBC: $S_{SBC}=\frac{1}{2} \cdot SM \cdot a$ .

Боковая поверхность пирамиды равна $S$ _бок $=3 \cdot S_{SBC}$ _бок $=3 \cdot S_{SBC}$ или $S$ _бок $=\frac{3}{2} \cdot SM \cdot a$ _бок $=\frac{3}{2} \cdot SM \cdot a$ . Так как $S$ _бок $=45$ _бок $=45$ , а $SM=5$ , получаем уравнение:

$45=\frac{3}{2} \cdot 5\cdot a$

Решаем уравнение:

$9=\frac{3}{2} a$

$a=6$ .

Ответ: 6