В правильной треугольной пирамиде SABC точка M середина ребра BC S вершина. Известно что SM=5, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка АВ.
Решение: Нарисуем пирамиду и отметим на ней все указанные в условии точки. Так как пирамида правильная — в основании у нее лежит правильный треугольник ABC, все стороны которого равны . Площадь боковой поверхности такой пирамиды — это сумма площадей треугольников SAB, SBC и SAC. Так как основания этих треугольников равны, а вершина пирамиды равноудалена от сторон ее основания, то и сами треугольники равны и являются в правильной пирамиде равнобедренными, то есть мы можем взять любой из треугольников SAB, SBC или SAC, например, удобнее взять треугольник SBC. Так как в нем дана высота SM (M — середина основания равнобедренного треугольника SBC, то есть SM=h — медиана — является также высотой и биссектрисой). Площадь треугольника SBC:
. Площадь боковой поверхности такой пирамиды — это сумма площадей треугольников SAB, SBC и SAC. Так как основания этих треугольников равны, а вершина пирамиды равноудалена от сторон ее основания, то и сами треугольники равны и являются в правильной пирамиде равнобедренными, то есть мы можем взять любой из треугольников SAB, SBC или SAC, например, удобнее взять треугольник SBC. Так как в нем дана высота SM (M — середина основания равнобедренного треугольника SBC, то есть SM=h — медиана — является также высотой и биссектрисой). Площадь треугольника SBC:
.
Боковая поверхность пирамиды равна бок
бок
или
бок
бок
. Так как
бок
бок
, а
, получаем уравнение:
Решаем уравнение:
.
Ответ: 6