Заказ на изготовление 238 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй

Задача. Заказ на изготовление 238 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 3 детали больше?

Решение

Пусть x— количество деталей, которое изготавливает второй рабочий за час. Тогда первый рабочий изготавливает x + 3 деталей за час.

Время, которое требуется второму рабочему, чтобы изготовить 238 деталей, будет равно \displaystyle \frac{238}{x} часов. Соответственно, первому рабочему потребуется \displaystyle \frac{238}{x + 3}часов.

По условию задачи известно, что первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй. Значит, можно составить следующее уравнение:

\displaystyle \frac{238}{x} - \frac{238}{x+ 3} = 3

Приведем уравнение к общему знаменателю и решим его относительно x:

 238(x + 3) - 238x = 3x(x + 3) \\ 238x + 714 - 238x = 3x^2 + 9x \\ 714 = 3x^2 + 9x 

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

238 = x^2 + 3x

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть:

x^2 + 3x - 238 = 0

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 3, и c = -238. Рассчитаем дискриминант:

D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-238) \\ D = 9 + 952 \\ D = 961

Дискриминант положительный, значит у уравнения есть два различных корня. Корни уравнения находятся по формуле:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Подставим наши значения:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{961}}{2} \\[5mm] x_{1,2} = \frac{-3 \pm 31}{2}

Таким образом, мы получаем два корня:

\displaystyle x_1 = \frac{28}{2} = 14 \\[5mm] x_2 = \frac{-34}{2} = -17

Отрицательное значение количества деталей за час не имеет смысла в контексте данной задачи, поэтому мы принимаем положительный корень.

Таким образом, второй рабочий изготавливает 14 деталей за час.

Ответ: 14.