Задача. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 240 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним, со скоростью на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Для решения задачи установим переменные для скоростей теплоходов и составим уравнения, исходя из условий задачи.
Обозначим скорость первого теплохода как v (в км/ч), тогда скорость второго теплохода будет v + 8 (в км/ч), так как он движется на 8 км/ч быстрее.
Первый теплоход отправился от пристани А и прибыл в пункт В, преодолев 240 км. Время, за которое он это сделал, будет равно \displaystyle \frac{240}{v}.
Второй теплоход отправился через 8 часов после первого и также прибыл в пункт В одновременно с первым теплоходом. Время в пути для второго теплохода составит \displaystyle \frac{240}{v + 8}.
Так как оба теплохода прибыли одновременно, время в пути первого теплохода на 8 часов больше времени в пути второго теплохода:
\displaystyle \frac{240}{v} = \frac{240}{v + 8} + 8Для решения уравнения относительно v, сначала избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на v(v + 8), что является общим знаменателем обеих дробей:
\displaystyle 240(v + 8) = 240v + 8v(v + 8)Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в одну сторону:
\displaystyle 240v + 1920 = 240v + 8v^2 + 64v \\ 8v^2 + 64v - 1920 = 0Теперь упростим уравнение, разделив обе стороны на 8:
v^2 + 8v - 240 = 0Это квадратное уравнение, и мы найдем его корни.
Используем формулу корней квадратного уравнения для их нахождения:
\displaystyle v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}где a = 1, b = 8, и c = -240.
Мы получаем два корня: 12 и -20.
Отрицательный корень не имеет смысла в контексте данной задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость первого теплохода равна 12 км/ч.
Это и есть искомая скорость первого теплохода для того, чтобы оба теплохода прибыли в пункт B одновременно.
Ответ: 12.
