Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 18, AC = 42, NC = 40.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N MN 18 AC 42 NC 40. Задача

Задача. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 18, AC = 42, NC = 40.

Решение

Первым делом установим подобие треугольников BMN и ABC. Из-за параллельности MN и AC, угол BAC равен углу BMN и угол BCA равен углу BNM.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N MN 18 — Рисунок к задаче

Исходя из подобия треугольников, мы можем записать следующее соотношение между их сторонами:

\displaystyle \frac{AC}{MN} = \frac{BC}{BN}

Пусть $BN = x$ , тогда BC, которая включает в себя отрезки BN и NC, будет равна $x + NC$ . Подставляем известные значения:

\displaystyle \frac{42}{18} = \frac{x + 40}{x}

Приведем отношение $\displaystyle \frac{42}{18}$ к более упрощенному виду:

\displaystyle \frac{42}{18} = \frac{7}{3}

Теперь у нас есть уравнение:

\displaystyle \frac{7}{3} = \frac{x + 40}{x}

Умножим обе части уравнения на $3x$ , чтобы избавиться от знаменателя:

7x = 3(x + 40) \\ 7x = 3x + 120

Теперь решим это линейное уравнение:

\displaystyle 7x - 3x = 120 \\ 4x = 120 \\ x = \frac{120}{4} \\ x = 30

Итак, длина стороны BN равна 30.

Ответ: 30.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Подписаться

0 комментариев

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии