Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (ax^2-2x)^2+(a^2-a+2)(ax^2-2x)-a^2(a-2)=0 имеет ровно два решения

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(ах²-2х)² + (а²-а + 2)(ах²-2х)-а²(а-2) = 0 имеет ровно два решения.

Решение

1) Решим данное уравнение при а = 0.

(-2х)² + 2 ∙ (-2х) = 0     →     4х²-4х = 0   →   4х(х-1) = 0.

Отсюда х = 0 или х-1 = 0  →   х = 1.

Вывод: при а = 0 данное уравнение имеет ровно два решения: х = 0 и х = 1.

2) Сделаем замену: ах²-2х = у. Получаем:

у² + (а²-а + 2)у-а²(а-2)) = 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения и упростим его.

D = (а²-а + 2)²-4 ∙ (-а²(а-2) = а⁴ + а² + 4-2а³-4а + 4а² + 4а³-8а² =

= а⁴ + 2а³-3а²-4а + 4 = а⁴ + 2а³-2а²-4а-а² + 4 = (а⁴ + 2а³)-(2а² + 4а)-(а²-4) =

= а³(а + 2)-2а(а + 2)-(а + 2)(а-2) = (а + 2)(а³-2а-а + 2) =

= (а + 2)((а³-а)-(2а-2)) = (а + 2)(а(а²-1)-2(а-1)) =

= (а + 2)(а(а-1)(а + 1)-2(а-1)) = (а + 2)(а-1)(а(а + 1)-2) =

= (а + 2) (а-1)(а² + а-2)  = (а + 2)(а-1)(а + 2)(а-1) = (а + 2)² ∙ (а-1)² > 0 при любых значениях а, кроме а =-2 и а = 1.

3) Если D = 0, т.е. если а = -2 или а = 1, то, используя формулу для решения квадратного уравнения при D = 0:

 

Тогда, возвращаясь к замене ах²-2х = у,

при а =-2 получаем -2х²-2х =-4   →   х² + х-2 = 0   →    х₁ =-2 и х₂ = 1 (два корня);

при а = 1 получаем  х²-2х = -1 →  х²-2х + 1 = 0  → (х-1)² = 0  →  х = 1 (один корень).

Вывод: при а =-2  данное уравнение имеет ровно два решения: х =-2 и х = 1.

4) Если D > 0, т.е. если а ∈ (-∞ ; -2) ∪ (-2; 1) ∪ (1; +∞ ), то по формуле для корней квадратного уравнения

 

Тогда, возвращаясь к замене ах²-2х = у, получаем:

ах²-2х =-а²  и  ах²-2х = а-2.

4а) ах²-2х =-а².

D₁ = 1-a³ > 0 при a³ < 1  →  a < 1 получаем два корня:

 

 

4б) ах²-2х-(а-2) = 0.

D₁ = 1 + а(а-2) = 1 + а²-2а = а²-2а + 1 = (а-1)² > 0 при любом а ≠ 1. Тогда получаем

 

 

Вывод: предполагая, что D > 0 мы получаем четыре решения. Исключим корни пункта 4а). Как? Эти решения получаются при условии а < 1, следовательно, если мы потребуем выполнения условия a  > 1, то от четырёх корней останутся ровно два корня (из пункта 4б).

5) Итог: ровно два решения мы получим при а = 0 или при а =-2 или при а > 1.

Ответ: а =-2; а = 0; а ∈ (1; +∞).