Задача. Найдите наибольшее значение функции y = 49x - 46\sin x + 37 на отрезке \displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right].
Решение
Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо:
- Найти производную функции.
- Определить критические точки на отрезке, в которых производная равна нулю или не существует.
- Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
- Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее.
Для функции y = 49x - 46\sin x + 37:
1. Найдем производную функции по x:
y' = (49x - 46\sin x + 37)' = 49 - 46\cos x2. Найдем критические точки, решив уравнение y' = 0:
\displaystyle 49 - 46\cos x = 0 \\ 46\cos x = 49 \\ \cos x = \frac{49}{46}Так как значение косинуса не может превышать 1, и данное уравнение не имеет решений на отрезке \displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right], критических точек на этом отрезке нет.
3. Так как критических точек нет, вычислим значения функции на концах отрезка:
При \displaystyle x = -\frac{\pi}{2}:
\displaystyle y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 49\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 46\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 37 = -\frac{49\pi}{2} + 46 + 37 \approx 6,07При x = 0:
y(0) = 49 \cdot 0 - 46\sin(0) + 37 = 374. Сравним значения функции на концах отрезка:
\displaystyle y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{49\pi}{2} + 46 + 37 \\ y(0) = 37Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке достигается в точке x = 0 и равно 37.
Ответ: 37.