Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, А1 и D1. б) Найдите угол между плоскостями АВ1C1 и BA1D1.

Задание. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, А₁ и D₁.

б) Найдите угол между плоскостями АВ₁C₁ и BA₁D₁.

Решение

а) Так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то плоскость BA₁D₁ пересечет основание по прямой ВС, и искомое сечение – BA₁D₁C.

б) Аналогично строим плоскость AB₁C₁D.

Эти плоскости пересекаются по прямой ОО₁, точки О и О₁ – центры квадратов (передней и задней граней куба). Отрезок ОО₁ перпендикулярен граням АА₁В₁В и DD₁C₁D, следовательно ОО₁⊥АВ₁ и ОО₁⊥А₁В. Угол между диагоналями АВ₁ и А₁В квадрата и есть угол между плоскостями АВ₁C₁ и BA₁D₁. Мы знаем, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, угол между плоскостями АВ₁C₁ и BA₁D₁ равен 90⁰.

Ответ: 90.