В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?

Решение

При решении задачи важно понять, что долг и выплаты это разные понятия. Долг — это 1300 тыс. руб. А выплаты содержат и долг, и проценты. Прочитаем выражение «в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года» — это означает что долг 1300 тыс. руб. уменьшается пять раз на одну и ту же величину — обозначим ее через $x$ . Тогда получим: $1300-5x$ .

Читаем дальше «в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». Пусть теперь эта величина будет $y$ . Тогда запишем $1300-5y$ .

Объединяя все годы, получаем $1300-5x-5y=0$ или $1300=5x+5y$ .

Тогда долг можно расписать таким образом.

	Годы	2027	2028	2029	2030	2031	2032	2033	2034	2035	2036
	Долг	5x+5y	4x+5y	3x+5y	2x+5y	x+5y	5y	4y	3y	2y	y
Выплаты	Уменьшение долга	x	x	x	x	x	y	y	y	y	y
Выплаты	Проценты	0,2·(5x+5y)	0,2·(4x+5y)	0,2·(3x+5y)	0,2·(2x+5y)	0,2·(x+5y)	0,2·5y	0,2·4y	0,2·3y	0,2·2y	0,2·y

Таким образом, выплаты — это часть долга и проценты. Так как проценты начисляют каждый год, то для того, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, помимо этой величины долга надо выплачивать и проценты, которые были начислены на долг.

Известно, что сумма всех платежей равна 2780 тыс. руб.

Тогда давайте запишем все платежи:

5x+0,2\cdot (5x+5y)+0,2 \cdot(4x+5y)+0,2\cdot (3x+5y)+0,2\cdot (2x+5y)+0,2\cdot (x+5y)+5y+0,2\cdot 5y+0,2\cdot 4y+0,2\cdot 3y+0,2\cdot 2y+0,2\cdot y=2780

Упростим

\displaystyle 5x+0,2(5x+5y+4x+5y+3x+5y+2x+5y+x+5y)+5y+0,2(5y+4y+3y+2y+y)=2780 \\[5mm] 5x+0,2(15x+25y)+5y+0,2\cdot 15y=2780 \\[5mm] 5x+\frac{1}{5}(15x+25y)+5y+\frac{1}{5}15y=2780 \\[5mm] 5x+3x+5y+5y+3y=2780 \\[5mm] 8x+13y=2780

Одно уравнение и две неизвестные. Но у нас есть еще одно уравнение $5x+5y=1300$ .

Получаем систему уравнений:

\displaystyle \begin{cases} 8x + 13y= 2780 \\ 5x + 5y= 1300 \end{cases}

Во втором уравнении мы видим, что коэффициенты при $x$ и $y$ одинаковы, это означает, что мы можем разделить обе части уравнения на 5, получив:

x + y = 260

Теперь у нас есть два уравнения:

\displaystyle \begin{cases} 8x + 13y= 2780 \\ x + 5= 260 \end{cases}

Давайте выразим $x$ через $y$ из второго уравнения и подставим в первое:

x = 260 - y

Подставляем в первое уравнение:

8(260 - y) + 13y = 2780

Раскроем скобки и решим уравнение для $y$ , затем найдем $x$ , используя значение $y$ .

Теперь раскроем скобки и объединим подобные члены:

2080 - 8y + 13y = 2780

Объединим члены с $y$ :

2080 + 5y = 2780

Теперь вычтем 2080 с обеих сторон:

5y = 2780 - 2080 \\ 5y = 700

Разделим обе стороны на 5, чтобы найти $y$ :

\displaystyle y = \frac{700}{5} \\[5mm] y = 140

Теперь, когда у нас есть значение для $y$ , мы можем подставить его обратно в уравнение $x + y = 260$ для нахождения $x$ :

x + 140 = 260 \\ x = 260 - 140 \\ x = 120

Итак, решение системы уравнений:

x = 120 \\ y = 140

Не забывайте, что при оформлении этой задачи на экзамене, необходимо не отклоняться от знака системы, и все выкладки делать в системе уравнений, монотонно переписывая систему под системой.

Нам надо найти выплаты или платёж в 2027 году. Смотрим таблицу.

Это платеж $x+0,2(5x+5y)=120 + 0,2 \cdot 1300=120 + 260=380$ тыс. руб.

Ответ: 380.