В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?
Решение
При решении задачи важно понять, что долг и выплаты это разные понятия. Долг — это 1300 тыс. руб. А выплаты содержат и долг, и проценты. Прочитаем выражение «в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года» — это означает что долг 1300 тыс. руб. уменьшается пять раз на одну и ту же величину — обозначим ее через x. Тогда получим: 1300-5x.
Читаем дальше «в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». Пусть теперь эта величина будет y. Тогда запишем 1300-5y.
Объединяя все годы, получаем 1300-5x-5y=0 или 1300=5x+5y.
Тогда долг можно расписать таким образом.
Годы | 2027 | 2028 | 2029 | 2030 | 2031 | 2032 | 2033 | 2034 | 2035 | 2036 | |
Долг | 5x+5y | 4x+5y | 3x+5y | 2x+5y | x+5y | 5y | 4y | 3y | 2y | y | |
Выплаты | Уменьшение долга | x | x | x | x | x | y | y | y | y | y |
Проценты | 0,2·(5x+5y) | 0,2·(4x+5y) | 0,2·(3x+5y) | 0,2·(2x+5y) | 0,2·(x+5y) | 0,2·5y | 0,2·4y | 0,2·3y | 0,2·2y | 0,2·y |
Таким образом, выплаты — это часть долга и проценты. Так как проценты начисляют каждый год, то для того, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, помимо этой величины долга надо выплачивать и проценты, которые были начислены на долг.
Известно, что сумма всех платежей равна 2780 тыс. руб.
Тогда давайте запишем все платежи:
5x+0,2\cdot (5x+5y)+0,2 \cdot(4x+5y)+0,2\cdot (3x+5y)+0,2\cdot (2x+5y)+0,2\cdot (x+5y)+5y+0,2\cdot 5y+0,2\cdot 4y+0,2\cdot 3y+0,2\cdot 2y+0,2\cdot y=2780Упростим
\displaystyle 5x+0,2(5x+5y+4x+5y+3x+5y+2x+5y+x+5y)+5y+0,2(5y+4y+3y+2y+y)=2780 \\[5mm] 5x+0,2(15x+25y)+5y+0,2\cdot 15y=2780 \\[5mm] 5x+\frac{1}{5}(15x+25y)+5y+\frac{1}{5}15y=2780 \\[5mm] 5x+3x+5y+5y+3y=2780 \\[5mm] 8x+13y=2780Одно уравнение и две неизвестные. Но у нас есть еще одно уравнение 5x+5y=1300.
Получаем систему уравнений:
\displaystyle \begin{cases} 8x + 13y= 2780 \\ 5x + 5y= 1300 \end{cases}Во втором уравнении мы видим, что коэффициенты при x и y одинаковы, это означает, что мы можем разделить обе части уравнения на 5, получив:
x + y = 260Теперь у нас есть два уравнения:
\displaystyle \begin{cases} 8x + 13y= 2780 \\ x + 5= 260 \end{cases}Давайте выразим xчерез yиз второго уравнения и подставим в первое:
x = 260 - yПодставляем в первое уравнение:
8(260 - y) + 13y = 2780Раскроем скобки и решим уравнение для y, затем найдем x, используя значение y.
Теперь раскроем скобки и объединим подобные члены:
2080 - 8y + 13y = 2780Объединим члены с y:
2080 + 5y = 2780Теперь вычтем 2080 с обеих сторон:
5y = 2780 - 2080 \\ 5y = 700Разделим обе стороны на 5, чтобы найти y:
\displaystyle y = \frac{700}{5} \\[5mm] y = 140Теперь, когда у нас есть значение для y, мы можем подставить его обратно в уравнение x + y = 260для нахождения x:
x + 140 = 260 \\ x = 260 - 140 \\ x = 120Итак, решение системы уравнений:
x = 120 \\ y = 140Не забывайте, что при оформлении этой задачи на экзамене, необходимо не отклоняться от знака системы, и все выкладки делать в системе уравнений, монотонно переписывая систему под системой.
Нам надо найти выплаты или платёж в 2027 году. Смотрим таблицу.
Это платеж x+0,2(5x+5y)=120 + 0,2 \cdot 1300=120 + 260=380 тыс. руб.
Ответ: 380.