Решите уравнение √(72 + x) = -x

Задача. Решите уравнение $\sqrt{72 + x} = -x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

Для всех действительных чисел $x$ , $\sqrt{72 + x}$ неотрицательно, поэтому $-x$ также должно быть неотрицательным. Это означает, что $x$ должно быть меньше нуля (то есть $x \leq 0$ ). К тому же $72+x \geq 0$ , отсюда $x \geq -72$ . И, получается, корень должен быть в промежутке [-72; 0].

Теперь решим уравнение:

\sqrt{72 + x} = -x

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

72 + x = x^2

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

x^2 - x - 72 = 0

Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два действительных корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}

Отсюда получаем два корня:

\displaystyle x_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9 \\  x_2 = \frac{1 - 17}{2} = -8

Корень $x_1 = 9$ не является решением уравнения, так как не принадлежит области определения уравнения.

Проверим второй корень $x_2 = -8$ :

\sqrt{72 - 8} = \sqrt{64} = 8

и $-(-8) = 8$ , следовательно, $x_2 = -8$ является решением уравнения. К тому же мы сразу вначале обговорили, что корень должен быть отрицательным числом.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -8$ .

Ответ: -8.