Задача. Решите уравнение \sqrt{72 + x} = -x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Для всех действительных чисел x, \sqrt{72 + x} неотрицательно, поэтому -x также должно быть неотрицательным. Это означает, что x должно быть меньше нуля (то есть x \leq 0). К тому же 72+x \geq 0, отсюда x \geq -72. И, получается, корень должен быть в промежутке [-72; 0].
Теперь решим уравнение:
\sqrt{72 + x} = -xВозводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
72 + x = x^2Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
x^2 - x - 72 = 0Найдем дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289Дискриминант положительный, значит, у уравнения два действительных корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:
\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}Отсюда получаем два корня:
\displaystyle x_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9 \\ x_2 = \frac{1 - 17}{2} = -8Корень x_1 = 9 не является решением уравнения, так как не принадлежит области определения уравнения.
Проверим второй корень x_2 = -8:
\sqrt{72 - 8} = \sqrt{64} = 8и -(-8) = 8, следовательно, x_2 = -8 является решением уравнения. К тому же мы сразу вначале обговорили, что корень должен быть отрицательным числом.
Таким образом, единственным решением уравнения является x = -8.
Ответ: -8.