Задача. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел an. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение а3.
Решение
У нас должна получиться дробь: 0,а1а2а3а4… Самое меньшее значение а3 равно 3, т.е. получается дробь 0,123… Что же это за рациональное число? Рациональными называют числа, которые можно записать в виде дроби m/n (m, деленное на n), где m – целое, n – натуральное.
Мы знаем, что 0,125 = 1/8 , но нам нужно чуть меньшее число, следовательно, знаменатель обыкновенной дроби должен быть немного больше. Конечно не 9. Запишем одну восьмую в виде 10/80 и будем увеличивать знаменатель. Рассмотрим дробь 10/81.
Это рациональное число представим в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель в столбик (на калькуляторе вы не получите бесконечную периодическую дробь, да не разрешают пользоваться калькуляторами на экзаменах!).
10/81 = 0,(123456790).
Убедимся в том, что эта дробь удовлетворяет нашим условиям, а именно – после запятой выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел. Действительно, получается дробь: 0,123456790123456790123456790… . Члены возрастающей последовательности: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 90; 123; 456; 790; 1234; 56790; и т.д. Итак, наименьшее возможное значение а3 = 3.
