В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 60 градусов, угол АВС равен 45 градусов. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС=12.
Решение:
Начертим данный треугольник и опишем около него окружность. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Смотрим рис. 6. Проведем высоты ΔАВС и обозначим точки пересечения этих высот с окружностью — точки M, N, P. Смотрим рис. 7.
а) Соединим эти точки (рис. 8) и докажем, что ΔMNP — прямоугольный, т.е. что ∠MNP опирается на полуокружность. Действительно, так как ∠ВСР=45°, то дуга ВР содержит 90°. Так как ∠ВАМ=45°, то дуга ВМ содержит 90°. Итак, дуга РМ содержит 180°, поэтому ∠MNP=90°, и мы доказали, что ΔMNP — прямоугольный.
б) Найдем площадь ΔMNP. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = ½ · MN · PN. Для того, чтобы найти катеты MN и PN найдем гипотенузу MP и острый угол MPN. МР =2R, а по следствию к теореме синусов: отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно 2R.
Определим величину угла MPN. ∠MPN=∠MPC+∠NPC. ∠MPC=∠MAC=15° (опираются на одну и ту же дугу МС); ∠NPC=∠NBC=15° (опираются на одну дугу NC). Следовательно, ∠MPN=15°+15°=30°. По гипотенузе МР и острому углу ∠MPN=30°, найдем катеты . Катет MN, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
