Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 12, CK = 16.

Задача. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 12, CK = 16.

Решение

В параллелограмме противоположные стороны равны, а биссектриса угла делит смежную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 12, CK = 16. — Рисунок к задаче.

Пусть $BK = 12$ , $CK = 16$ . Так как $BK$ и $CK$ являются отрезками, на которые биссектриса делит сторону $BC$ , и $BC = BK + CK$ , то $BC = 12 + 16 = 28$ .

Таким образом, сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ равна 28. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, $AD = BC = 28$ .

Теперь рассмотрим стороны $AB$ и $CD$ . Поскольку биссектриса делит угол A пополам и пересекает сторону BC, то она является секущей двух параллельных сторон AD и CB. А углы ∠AKB и∠KAD равны как накрест лежащие, и также ∠KAD=∠KAB (так как AK — биссектриса). Тогда треугольник AKB равнобедренный, поскольку у него углы при основании AK равны. Так как треугольник равнобедренный, то его стороны равны AB=BK=12.

Таким образом, стороны $AB$ и $CD$ также равны 12.

Периметр параллелограмма будет равен сумме всех его сторон: