Задача. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение
Сделаем рисунок к задаче.
Обозначим середину стороны AB точкой K и проведем из точки K прямую, параллельную основанию AD. Точку пересечения этой прямой и стороны CD обозначим через M.
Очевидно, что KM — это средняя линяя трапеции, так как она проведена из точки — середины одной боковой стороны параллельно основаниям и соответственно M — середина стороны CD. Таким образом CM=MD=CD/2=17.
Так как DK — биссектриса угла D, то этот угол делится на два равных угла α.
Угол DKM также будет равен α, как накрест лежащий к углу KDA. И получается, что треугольник KMD будет равнобедренным — у него углы при основании KD равны. Значит, равны и стороны KM=MD=17. Таким образом, мы нашли среднюю линию трапеции KM=17.
Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, находим основание AD:
AD=2KM-BC=34-2=32.Для того, чтобы найти площадь трапеции, нам надо знать ее высоту. Прежде чем мы ее будем искать, сначала проведем из вершины C на сторону AD трапеции прямую параллельную AB и получившуюся точку пересечения обозначим через H.
ABCH — параллелограмм, по построению и по условию задачи (BC||AH — так как ABCD трапеция и стороны параллелограмма — это основание BC и часть основания AD трапеции, а AB||CH по построению). Тогда сторона параллелограмма AH=2, а сторона CH=16.
Рассмотрим треугольник CHD. Известны его стороны CH=16, CD=34, HD=AD-AH=32-2=30.
Это прямоугольный треугольник, так как эти стороны по размерам пропорциональны Пифагоровой тройке 8, 15, 17 с коэффициентом пропорциональности 2.
Таким образом, угол H в треугольнике CHD — прямой. И CH фактически является высотой в этом треугольнике и, соответственно, высотой в трапеции.
Теперь мы можем посчитать площадь трапеции:
S_{ABCD}=CH \cdot KM = 16 \cdot 17= 272.Ответ: 272.
