Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(|x-9|-|x-a|)2-9a(|x-9|-|x-a|) + 8a2 + 28a-16 = 0 имеет ровно два решения.
Решение задания
Решение. Сделаем замену: |x-9|-|x-a| = у. Получаем:
у2-9aу + 8a2 + 28a-16 = 0. Найдём дискриминант.
D = (9a)2-4 ∙ (8a2 + 28a-16) = 81a2-32a2-112a + 64 = 49a2-112a + 64 = (7a-8)2 > 0 при любом значении а ≠ 8/7 . Корни квадратного уравнения:
Возвращаемся к переменной х и получаем два равенства:
|x-9|-|x-a| = а + 4 и |x-9|-|x-a| = 8а-4.
Нам нужно, чтобы данное в условии уравнение имело ровно два решения. Смотрите предшествующий задаче материал в Примере 1.
Мы имеем уравнение вида: |x-b|-|x-c| = d. У нас b = 9, с = а.
Так как уравнение вида |x-b|-|x-c| = d может иметь либо один корень, либо бесконечное множество корней, либо вообще не иметь корней, то два корня мы получим только при условии, что равенства |x-9|-|x-a| = а + 4 и |x-9|-|x-a| = 8а-4 будут выполнены одновременно. Решим систему уравнений:
Мы знаем теперь (смотрите Пример 1 в предыдущем материале), что
уравнение вида |x-b|-|x-c| = d (b < c) имеет единственное решение при условии b—c < d < c—b;
уравнение вида |x-b|-|x-c| = d (b > c) имеет единственное решение при условии c—b < d < b—c.
Однако, мы не знаем, 9 < a (b < c) или 9 > a (b > c), поэтому рассмотрим два случая.
Случай А (b < c)
Система уравнений будет иметь ровно два решения, если:
Следовательно, случай А не имеет место, и на самом деле имеем случай Б.
Случай Б (b > c)
Система уравнений будет иметь ровно два решения, если:
Общее решение системы ( * ):