Угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведенными из вершины прямого угла C треугольника ABC, равен 10°.

Угол между биссектрисой CD и медианой CM , проведенными из вершины прямого угла C треугольника ABC, равен 10°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах. ЕГЭ

Задача. Угол между биссектрисой CD и медианой CM , проведенными из вершины прямого угла C треугольника ABC, равен 10^\circ. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В заданном треугольнике ABC угол C является прямым, что указано в условии. Нам необходимо определить величину угла A. Из-за прямоугольности треугольника медиана CM, проведенная из угла C, достигает середины гипотенузы и таким образом является радиусом окружности, описанной вокруг нашего треугольника, поэтому длины отрезков AM, MC и MB равны.

Рисунок к задаче. Угол между биссектрисой CD и медианой CM треугольника ABC
Рисунок к задаче. Угол между биссектрисой CD и медианой CM треугольника ABC

Исходя из того, что CD — это биссектриса угла C, можно заключить, что угол DCB составляет 45°. Это позволяет нам вычислить угол ACM как разность 90° и суммы углов MCD и DCB, которая равна 55° (10° и 45° соответственно). Таким образом, угол ACM равен 35°.

Поскольку треугольник ACM имеет равные стороны AM и MC, он является равнобедренным, и угол ACM также равен углу A. Поэтому угол A равен 35°.

А угол B будет равен ∠B=180°- ∠C — ∠A= 180°-90°-35°=90°-35°=55°.

Получаем углы в треугольнике 90°, 35°, 55°.

Таким образом, меньшим будет угол A, равный 35 градусов.

Ответ: 35.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ