Задача. Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв 2 часа в пункте В, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.
Решение
Чтобы определить скорость течения реки, рассмотрим время, затраченное лодкой на весь маршрут.
Общее время, проведённое в пути, составляет с 5:00 до 23:00, что равно 18 часов. Из этих 18 часов лодка пробыла 2 часа в пункте B, следовательно, в движении она была 18 — 2 = 16 часов.
Лодка двигалась туда и обратно на одинаковое расстояние 30 км, следовательно, общий путь составил 30 км · 2 = 60 км.
Если собственная скорость лодки равна 4 км/ч, а скорость течения реки — x км/ч, тогда:
— скорость лодки против течения составляет 4 - x км/ч,
— скорость лодки по течению составляет 4 + x км/ч.
Так как общее время движения составляет 16 часов, мы можем записать следующее уравнение, используя то, что время равно расстоянию, делённому на скорость:
\displaystyle \frac{30}{4 - x} + \frac{30}{4 + x} = 16Для решения этого уравнения приведём левую часть к общему знаменателю:
\displaystyle \frac{30(4 + x) + 30(4 - x)}{(4 - x)(4 + x)} = 16 \\[5mm] \frac{120 + 30x + 120 - 30x}{16 - x^2} = 16 \\[5mm] \frac{240}{16 - x^2} = 16Перемножим обе части на знаменатель:
240 = 16(16 - x^2) \\ 240 = 256 - 16x^2Уединяем корень:
16x^2 = 256 - 240 \\16x^2 = 16Теперь разделим обе части на 16:
x^2 = 1Корни уравнения:
x_{1,2} = \pm1Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение. Следовательно, скорость течения реки равна 1 км/ч.
Ответ: 1.
