Задача. Боря и Ваня могут покрасить забор за 10 часов. Ваня и Гриша могут покрасить этот же забор за 15 часов, а Гриша и Боря — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Решение
Для решения задачи введём следующие обозначения: x – производительность работы Бори за час, y – производительность работы Вани за час, и z – производительность работы Гриши за час. Под производительностью понимается часть работы, которую может выполнить каждый за час.
По условию задачи известно, что:
- Боря и Ваня вместе покрасят забор за 10 часов, значит, их совместная производительность равна \displaystyle \frac{1}{10} забора в час.
- Ваня и Гриша вместе покрасят забор за 15 часов, следовательно, их совместная производительность равна \displaystyle \frac{1}{15} забора в час.
- Гриша и Боря вместе покрасят забор за 18 часов, что соответствует совместной производительности \displaystyle \frac{1}{18} забора в час.
Теперь можно составить систему уравнений, основываясь на данных условиях:
\displaystyle \begin{cases} x + y = \frac{1}{10} \\ y + z = \frac{1}{15}\\ z + x = \frac{1}{18} \end{cases}Сложим все три уравнения, чтобы получить суммарную производительность Бори, Вани и Гриши, работающих вместе:
\displaystyle (x + y) + (y + z) + (z + x) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} \\[5mm] 2(x + y + z) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18}Найдём общий знаменатель для дробей справа:
\displaystyle 2(x + y + z) = \frac{9}{90} + \frac{6}{90} + \frac{5}{90}= \frac{20}{90} \\[5mm] x + y + z = \frac{20}{180}= \frac{1}{9}Значит, работая втроем, Боря, Ваня и Гриша покрасят забор за 9 часов.
Ответ: 9.
