Решите неравенство (36-12x+x^2)< √10(x-6).

Задача. Решите неравенство $36-12x+x^2 < \sqrt{10}(x-6)$ .

Решение

36-12x+x^2

можно представить как

(x-6)^2

по формуле квадрата разности. Тогда исходное неравенство запишется так:

(x - 6)^2 - \sqrt{10}(x - 6) < 0

Вынесем $x-6$ за скобки в левой части:

(x - 6)((x - 6) - \sqrt{10}) < 0

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем корни уравнения $(x - 6)((x - 6) - \sqrt{10})=0$ .

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

x-6=0

или

x-6-\sqrt{10}=0

Получаем два корня:

x_1=6 и x_2=6+\sqrt{10}

Отметим эти корни на числовой оси (отмечаем выколотыми точками, так как неравенство у нас строгое):

Подставляя значения x из каждого интервала в левую часть неравенства $(x - 6)((x - 6) - \sqrt{10}) < 0$ и исследуя полученные значения на их знак, мы находим, что в промежутке от $6 до 6+\sqrt{10}$ левая часть неравенства принимает отрицательные значения. Что соответствует верному неравенству.

Таким образом, решение неравенства:
$x \in (6, 6 + \sqrt{10})$

Это и есть интервал значений $x$ , на котором исходное неравенство выполняется.

Ответ: $x \in (6, 6 + \sqrt{10})$ .