Задание. Найдите точку максимума функции \displaystyle y = (4x^2 - 36x + 36)e^{33-x} .
Решение
Чтобы найти точку максимума данной функции \displaystyle y = (4x^2 - 36x + 36)e^{33-x}, необходимо сначала найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки.
Производная функции находится по формуле производной произведения: (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v', где u = 4x^2 - 36x + 36 и v = e^{33-x}.
Найдем производные u' и v':
1. u' = (4x^2 - 36x + 36)' = 8x - 36.
2. v' = (e^{33-x})' = -e^{33-x} (используется правило производной для экспоненциальной функции с показателем степени, зависящим от x ).
Теперь найдем производную функции y:
y' = u' \cdot v + u \cdot v' = (8x - 36) \cdot e^{33-x} + (4x^2 - 36x + 36) \cdot (-e^{33-x}) .Упростим выражение, раскрыв скобки:
\displaystyle y' = 8xe^{33-x} - 36e^{33-x} - 4x^2e^{33-x} + 36xe^{33-x} - 36e^{33-x} .Сгруппируем подобные члены:
\displaystyle y' = e^{33-x}(8x - 4x^2 + 36x - 72). \\ y' = e^{33-x}(-4x^2 + 44x - 72).Для того, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
e^{33-x}(-4x^2 + 44x - 72) = 0.Так как экспоненциальная функция всегда положительна, уравнение
-4x^2 + 44x - 72 = 0 определит критические точки.Решим это квадратное уравнение:
-4x^2 + 44x - 72 = 0.Делим на -4, чтобы упростить уравнения:
x^2-11x+18=0.По теореме Виета находим:
x_1 = 9 и x_2 = 2.И уравнение можно записать в виде:
x^2-11x+18=(x-2)(x-9).Чтобы определить, какая из этих точек является точкой максимума, необходимо исследовать знак производной на интервалах между и вокруг найденных критических точек.
До точки x=9 функция возрастала, а потом начала убывать. Таким образом, точка максимума данной функции — x = 9.
Ответ: 9.
