В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at^2 +bt + H_0, где Н_0 = 6,25 м — начальный уровень воды, \displaystyle а = \frac{1}{49} м/мин^2 и \displaystyle b = -\frac{5}{7} м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Решение
Чтобы определить, в течение какого времени вода будет вытекать из бака, нам необходимо найти значение t , при котором высота воды H(t) обратится в ноль. Иными словами, мы должны решить уравнение:
\displaystyle H(t) = \frac{1}{49}t^2 - \frac{5}{7}t + 6,25 = 0Это квадратное уравнение, и чтобы найти его корни, можно использовать формулу корней квадратного уравнения. Однако, поскольку мы ищем реальное время, нам нужен только положительный корень этого уравнения.
Решим это квадратное уравнение:
t^2 - 35t + 306,25 = 0Коэффициенты при t^2, t и свободный член равны 1, -35 и 306,25 соответственно.
Теперь найдем дискриминант D уравнения:
D = b^2 - 4ac \\ D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 306,25 \\ D = 1225 - 1225 \\ D = 0Когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:
\displaystyle t = \frac{-b}{2a} \\[5mm] t = \frac{35}{2} \\[5mm] t = 17,5Таким образом, вода будет вытекать из бака в течение 17,5 минут.
Ответ: 17,5.
