Задание. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен 4,5. Найдите объём исходной призмы.
Решение
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить свойства средней линии треугольника и как она связана с объемом призмы.
Средняя линия треугольника всегда параллельна одной из сторон и равна её половине. В случае треугольной призмы, если мы проведем плоскость через среднюю линию основания и параллельно боковому ребру, мы фактически поделим призму на две части: меньшую призму и трапецеидальную призму.
Объем призмы вычисляется по формуле V = S \cdot h, где S — площадь основания призмы, а h — высота. Когда мы отсекаем часть призмы плоскостью, параллельной боковому ребру, мы получаем две новые призмы, каждая с тем же самым боковым ребром, что и исходная призма, но с разными площадями оснований.
Меньшая призма, которая была отсечена, имеет основание, равное половине основания исходной призмы (так как средняя линия равна половине стороны, на которую она опирается). Поскольку объем пропорционален площади основания, объем меньшей призмы составляет ровно \displaystyle \frac{1}{4}объема исходной призмы (так как площадь основания меньшей призмы в четыре раза меньше площади основания исходной призмы).
Учитывая, что объем отсеченной меньшей призмы равен 4,5, объем исходной призмы будет в четыре раза больше, то есть 4,5 \cdot 4.
Объем исходной треугольной призмы равен 18 кубических единиц.
Ответ: 18.
