Задача. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 7 очков, в случае ничьей — 2 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.
Решение
Команда может набрать необходимые 9 очков несколькими способами: выиграв обе игры или выиграв одну игру и сыграв вничью в другой. Вероятности проигрыша и выигрыша в каждой игре равны 0,2, а вероятность ничьей будет 1 — 0,2 — 0,2 = 0,6, так как сумма вероятностей всех исходов в одной игре равна 1.
Рассмотрим все способы набрать необходимое количество очков:
1. Выигрыш в обеих играх. Вероятность этого исхода будет произведением вероятностей выигрыша в каждой из игр: 0,2 \cdot 0,2 = 0,04.
2. Выигрыш в первой игре и ничья во второй. Вероятность такого исхода: 0,2 \cdot 0,6 = 0,12.
3. Ничья в первой игре и выигрыш во второй. Вероятность такого исхода также: 0,6 \cdot 0,2 = 0,12.
Других способов набрать 9 и более очков нет, так как даже если команда сыграет вничью оба матча, она наберет только 4 очка, что недостаточно для прохода в следующий круг.
Сложим вероятности всех благоприятных исходов: 0,04 + 0,12 + 0,12 = 0,28.
Итак, вероятность того, что команда наберет необходимое количество очков и выйдет в следующий круг соревнований, равна 0,28.
Ответ: 0,28.
