Найдите точку минимума функции y=(x+9)^2(x+3)+7

Задача. Найдите точку минимума функции $y=(x+9)^2(x+3)+7$ .

Решение

Для нахождения точки минимума функции $y = (x+9)^2(x+3)+7$ , сначала необходимо найти её производную. После этого мы найдем критические точки, приравняв значение производной к нулю. Точку минимума можно определить, проанализировав знаки производной до и после критической точки, или используя вторую производную.

Начнем с нахождения производной функции.

Первая производная функции $y$ по $x$ равна:

y' = ((x+9)^2(x+3)+7)'=((x+9)^2)'(x+3)+(x+9)^2(x+3)'+7'=(x + 3)(2x + 18) + (x + 9)^2

Для упрощения производной и нахождения критических точек, необходимо раскрыть скобки и объединить подобные члены:

y' = 3(x + 5)(x + 9)

Теперь, чтобы найти критические точки, мы приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

3(x + 5)(x + 9) = 0

Из этого уравнения мы можем найти значения $x$ , при которых производная равна нулю. Эти значения будут потенциальными точками минимума или максимума.

Критические точки функции:

x = -9

x = -5

Чтобы определить, являются ли эти точки точками минимума или максимума, мы можем использовать вторую производную. Если она положительна в критической точке, это минимум, если отрицательна — максимум.

Вторая производная функции:

y'' = 3x+15+3x+27=6x + 42

Теперь мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, являются ли критические точки $x = -9$ и $x = -5$ точками минимума. Давайте проверим знак второй производной в этих точках.

Вторая производная в точке $x = -9$ равна $-12$ , что означает, что это точка максимума.
Вторая производная в точке $x = -5$ равна $12$ , что означает, что это точка минимума функции.

Мы можем найти значение функции $y$ в точке минимума, подставим $x = -5$ в исходное уравнение функции.

Значение функции $y$ в точке минимума $x = -5$ равно $-25$ . Таким образом, точка минимума функции $y = (x+9)^2(x+3)+7$ находится в $(-5, -25)$ . В ответ мы запишем абсциссу точки.

Ответ: -5.