Задача. Даны векторы \vec{a}(2; 3) и \vec{b}(-3; b_0). Найдите \vec{b_0}, если |\vec{b}|=1,5|\vec{a}|. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение
Для решения данной задачи найдем длины векторов, а затем используем заданное соотношение между длинами.
Длина вектора \vec{a} равна:
\displaystyle |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}Теперь выразим длину вектора \vec{b} через b_0:
\displaystyle |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + b_0^2} = \sqrt{9 + b_0^2}Данное условие: |\vec{b}| = 1,5|\vec{a}| подставим значения:
\displaystyle \sqrt{9 + b_0^2} = \frac{3}{2}\sqrt{13}Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\displaystyle 4(9 + b_0^2) = 9 \cdot 13 \\ 36 + 4b_0^2 = 9 \cdot 13 \\ 4b_0^2 = 117-36 \\ b_0^2=\frac{81}{4} \\ b_0^2=20,25 \\ b_0= \pm 4,5Так как в условии задано, что нужно записать меньшее из значений, ответом будет:
b_0 = -4,5.Ответ: -4,5.
