Даны векторы a(-2; 4) и b(2; -1). Известно, что векторы c(x_c; y_c) и b сонаправленные, а |c| = |a|. Найдите x_c + y_c.

Задача. Даны векторы \vec{a}(-2; 4) и \vec{b}(2; -1). Известно, что векторы \vec{c}(x_c; y_с) и \vec{b} сонаправленные, а \left|\vec{c}\right| = \left|\vec{a}\right|. Найдите x_c + y_c.

Решение

Для решения этой задачи нужно учесть два условия: векторы \vec{c} и \vec{b} сонаправленные и длины векторов \vec{c} и \vec{a} равны.

1. Если два вектора сонаправлены, то один из них можно получить, умножив другой на положительное число k. Таким образом, вектор \vec{c} можно выразить через вектор \vec{b} как \vec{c} = k \cdot \vec{b}. Исходя из вектора \vec{b}(2, -1), получаем уравнения для координат вектора \vec{c}:

x_c = 2k \\ y_c = -k

2. Теперь используем условие равенства длин векторов \vec{c} и \vec{a}. Длина вектора (или модуль) находится по формуле \sqrt{x^2 + y^2}. Значит, для вектора \vec{a} длина будет

\sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, а для вектора \vec{c} длина будет \sqrt{(2k)^2 + (-k)^2} = \sqrt{4k^2 + k^2} = \sqrt{5k^2}.

3. Приравнивая длины, получаем уравнение:

\sqrt{20} = \sqrt{5k^2} \\ \sqrt{20} = \sqrt{5} \cdot |k| \\ |k| = \sqrt{4}

Тогда получаем

k = 2 или k = -2, но поскольку векторы сонаправленные, k должно быть положительным, следовательно k = 2.

4. Теперь, зная k, мы можем найти x_c и y_c:

x_c = 2 \cdot 2 = 4 \\ y_c = -2

5. Наконец, находим сумму x_c + y_c:

x_c + y_c = 4 - 2 = 2

Ответ: 2.