Задача. Прямая y = 5x - 9 является касательной к графику функции y = 20x^2 - 15x + c. Найдите c.
Решение
Так как прямая является касательной к параболе, значит, в точка касания принадлежит обоим графикам. И в этой точке функции будут равны:
5x-9=20x^2-15x+cУпростим:
20x^2-15x+c-5x+9=0 \\ 20x^2-20x+9+c=0.Получили квадратное уравнение. Точка касания является единственным его корнем. Когда это возможно? Когда дискриминант уравнения равен нулю. Именно в этом случае мы получаем только один корень уравнения. Найдем дискриминант и приравняем его к нулю.
D=b^2-4ac=(-20)^2-4 \cdot 20 \cdot (9+c)=400-80 \cdot(9+c)=0Решим полученное уравнение относительно c:
\displaystyle 400-80 \cdot 9 -80c=0 \\ -80c=-400+720 \\ -80c=320 \\ c=\frac{320}{-80} \\ c=-4Ответ: -4