Задача. Даны векторы \vec{a}(4; -6) и \vec{b}(-2; 3). Известно, что |\vec{c}| = |\vec{a}|, а векторы \vec{c} (x_c; y_c) и \vec{b}противоположно направленные. Найдите x_c + y_c.
Решение
Понятие противоположно направленных векторов означает, что векторы направлены в разные стороны, но при этом они коллинеарные, и их координаты пропорциональны. Если вектор \vec{c} противоположно направлен вектору \vec{b}, то их координаты связаны следующим образом: x_c = -kx_b, y_c = -ky_b, где k — положительное число.
Кроме того, по условию задачи известно, что модуль вектора \vec{c} равен модулю вектора \vec{a}, то есть |\vec{c}| = |\vec{a}|. Модуль вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть |\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2}.
Из условия |\vec{c}| = |\vec{a}| следует, что:
\sqrt{x_c^2 + y_c^2} = \sqrt{x_a^2 + y_a^2}Подставляем известные значения координат вектора \vec{a}:
\sqrt{x_c^2 + y_c^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2}= \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}Теперь используем связь между координатами векторов \vec{c} и \vec{b}:
x_c = -kx_b = -k(-2) = 2k \\ y_c = -ky_b = -k(3) = -3kМодуль вектора \vec{c} тогда равен:
|\vec{c}| = \sqrt{(2k)^2 + (-3k)^2} = \sqrt{4k^2 + 9k^2}= \sqrt{13k^2} = k\sqrt{13}Приравняем полученное выражение к \sqrt{52}:
k\sqrt{13} = \sqrt{52}= \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \\ k = 2Таким образом, координаты вектора \vec{c} равны:
x_c = 2k = 2 \cdot 2 = 4 \\ y_c = -3k = -3 \cdot 2 = -6Искомая сумма координат вектора \vec{c} будет:
x_c + y_c = 4 + (-6) = -2Таким образом, сумма координат x_c + y_c равна -2.
Ответ: -2.
