Даны векторы a(4; ya) и b(xb; 0), косинус угла между которыми равен 2/√5

Задача. Даны векторы \vec{a}(4; y_a) и \vec{b}(x_b; 0), косинус угла между которыми равен \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}. Найдите y_a. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Решение

Косинус угла между двумя векторами определяется как отношение их скалярного произведения к произведению их модулей. Исходя из этого, можно записать следующее уравнение:

\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{5}}

Скалярное произведение векторов \vec{a}(4; y_a) и \vec{b}(x_b; 0) равно произведению их соответствующих координат:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot x_b + y_a \cdot 0 = 4x_b

Модули векторов равны:

|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + y_a^2} = \sqrt{16 + y_a^2} \\ |\vec{b}| = \sqrt{x_b^2 + 0^2} = \sqrt{x_b^2} = |x_b|

Так как x_b неизвестен, но вектор \vec{b} лежит на оси x, модуль |\vec{b}| можно представить просто как x_b, если рассматривать x_b как положительное значение.

Подставим скалярное произведение и модули векторов в уравнение:

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4x_b}{\sqrt{16 + y_a^2} \cdot |x_b|}

Упростим выражение, заметив, что |x_b| в числителе и знаменателе сокращаются:

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{16 + y_a^2}}

Перекрестно умножим:

2\sqrt{16 + y_a^2} = 4\sqrt{5}

Разделим обе стороны на 2:

\sqrt{16 + y_a^2} = 2\sqrt{5}

Возведем в квадрат обе стороны уравнения:

16 + y_a^2 = 4 \cdot 5 \\ 16 + y_a^2 = 20

Вычтем 16 из обеих сторон:

y_a^2 = 4

Теперь найдем y_a:

y_a = 2 или y_a = -2.

Поскольку в задаче требуется выбрать большее значение, ответом будет y_a = 2.

Ответ: 2.