Задача. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение. Пусть z рабочих первой области добывают алюминий. Тогда (20-z) человек добывают никель. Один рабочий первой области добывает в час 1 кг алюминия или 2 кг никеля. За рабочий день (5 часов) один рабочий добывает 5 кг алюминия или 10 кг никеля. Тогда z рабочих добудут 5z кг алюминия, а (20-z) рабочих добудут 10(20-z) кг никеля.
Пусть t рабочих второй шахты добывают алюминий, тогда (100-t) рабочих добывают никель. Так как эти рабочие трудятся по 5 часов и за один час добывают 2 кг алюминия или 1 кг никеля, то ежедневная добыча составляет 10t кг алюминия и 5(100-t) кг никеля.
Таким образом, обе шахты ежедневно добывают (5z + 10t) кг алюминия и 10(20-z) + 5(100 t) = 200-10z + 500-5t = (700-10z-5t) кг никеля.
На заводе производят сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Получаем равенство: 5z + 10t = 2(700-10z-5t);
5z + 10t = 1400-20z-10t;
25z + 20t = 1400. Делим обе части равенства на 5.
5z + 4t = 280.
Рассуждаем: алюминия для сплава нужно вдвое больше, чем никеля. В первой шахте трудится в 5 раз меньше людей, и каждый из них добывает алюминия вдвое меньше, чем рабочий второй шахты, при этом в сплаве должно быть вдвое больше алюминия, поэтому в интересах производства нужно или всех рабочих первой шахты занять добычей алюминия или максимально большее число рабочих второй шахты поставить на добычу алюминия, т.е. взять z = 20 или z = 0.
1) Если z = 20. Отсюда
4t = 280-5 ∙ 20 → 4t = 180 → t = 45.
Алюминия добывается 5z + 10t = 5 ∙ 20 + 10 ∙ 45 = 100 + 450 = 550 кг ежедневно.
Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 ∙ 20-5 ∙ 45 = 700-200-225 = 275 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 550 + 275 = 825 кг.
2) Если z = 0, то 4t = 280 → t = 280 : 4 → t = 70.
Алюминия добывается 5z + 10t = 5 ∙ 0 + 10 ∙ 70 = 700 кг ежедневно.
Никеля добывается 700-10z-5t = 700-10 ∙ 0-5 ∙ 70 = 700-350 = 350 кг ежедневно. Всего масса сплава составит 700 + 350 = 1050 кг. Это наибольшее возможное количество сплава.
Ответ: 1050.
