На рисунке изображены графики функций f(x)=k/x и g(x)=ax+b, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Задача. На рисунке изображены графики функций \displaystyle f(x) = \frac{k}{x} и g(x) = ax + b, которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение

Чтобы найти уравнения функций для данной задачи, начнём с прямой g(x) = ax + b, проходящей через точки A и C.

Точка A имеет координаты (-2, 2), а еще одна отмеченная точка (назовем ее точкой С) — (-3, -3).

Найдём угловой коэффициент a прямой g(x) :

\displaystyle a = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-3 - 2}{-3 - (-2)}= \frac{-5}{-1}= 5

Теперь найдём b, подставив координаты точки A в уравнение прямой:

2 = 5 \cdot (-2) + b \\ b = 2 + 10 \\ b = 12

Уравнение прямой: g(x) = 5x + 12.

Теперь найдём уравнение гиперболы \displaystyle f(x) = \frac{k}{x}, используя точку A:

\displaystyle 2 = \frac{k}{-2} \\ k = -4

Уравнение гиперболы: \displaystyle f(x) = \frac{-4}{x}.

Теперь найдём точку пересечения В, приравняв уравнения функций:

\displaystyle 5x + 12 = \frac{-4}{x}

Умножим обе стороны на xи решим полученное квадратное уравнение:

5x^2 + 12x = -4 \\ 5x^2 + 12x + 4 = 0

Найдём дискриминант D:

\displaystyle D = b^2 - 4ac \\ D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 \\ D = 144 - 80 \\ D = 64

Корни уравнения:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5mm] x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{10} \\[5mm] x_{1,2} = \frac{-12 \pm 8}{10}

Окончательно, находим:

\displaystyle x_1 = \frac{-20}{10} = -2 (точка A) \displaystyle x_2 = \frac{-4}{10} = -0,4 (точка B)

Абсцисса точки В равна -0,4.

Ответ: -0,4

Еще похожая задача: На рисунке изображены графики функций f(x)=k/x и g(x)=ax+b, которые пересекаются в точках A и B.