Задача. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \displaystyle U = U_0\cos(\omega t + \varphi) , где t — время в секундах, амплитуда U_0 = 2 В, частота \omega = 120^\circ/c, фаза \varphi = -45^\circ. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Решение
Подставим значения в выражение U = U_0\cos(\omega t + \varphi). Получим:
U=2 \cos(120^\circ/c \cdot t-45 ^\circ)Так как U>1, запишем:
2 \cos(120^\circ/c \cdot t-45 ^\circ)>1и тогда
\displaystyle \cos(120^\circ/c \cdot t-45^\circ)> \frac{1}{2}Покажем решение неравенства на тригонометрическом круге. Косинус угла откладывается на оси абсцисс. Это значение больше 0,5 (тригонометрический круг имеет радиус, равный 1).
А угол мы смотрим соединяя начала координат и точку на круге, которую обозначила прямая, x=0,5.

Видно, что косинус угла будет больше 0,5, если угол будет между -60^\circ и 60^\circ.
Запишем,
-60^\circ < 120^\circ/c \cdot t-45^\circ < 60^\circРешаем двойное неравенство:
\displaystyle -60^\circ+45^\circ < 120^\circ/c \cdot t < 60^\circ+45^\circ \\[5mm] -25^\circ < 120^\circ/c \cdot t < 105^\circ \\[5mm] \frac{-25^\circ}{120^\circ/c} < t < \frac{105^\circ}{120^\circ/c} \\[5mm] \frac{-5}{24}с<t<\frac{7}{8}сТак как отрицательное время нам не нужно — мы рассматриваем только время в течение первой секунды, то выбираем значение от 0 до \displaystyle \frac{7}{8}с.
В задаче требуется подсчитать какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Составим пропорцию:
\displaystyle \frac{7}{8} с - x%, а 1c - 100%.Тогда \displaystyle x=\frac{7}{8} \cdot 100%=7 \cdot 12,5%=87,5%.
Ответ: 87,5.
ошибка в вычислениях, -15 буде, а не -25