Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал U0 = 2 В, частота ω = 120°/c, фаза φ = -45°

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал U0 = 2 В, частота ω = 120°/c, фаза φ = -45° ЕГЭ

Задача. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \displaystyle U = U_0\cos(\omega t + \varphi) , где t — время в секундах, амплитуда U_0 = 2 В, частота \omega = 120^\circ/c, фаза \varphi = -45^\circ. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение

Подставим значения в выражение U = U_0\cos(\omega t + \varphi). Получим:

U=2 \cos(120^\circ/c \cdot t-45 ^\circ)

Так как U>1, запишем:

2 \cos(120^\circ/c \cdot t-45 ^\circ)>1

и тогда

\displaystyle \cos(120^\circ/c \cdot t-45^\circ)> \frac{1}{2}

Покажем решение неравенства на тригонометрическом круге. Косинус угла  откладывается на оси абсцисс. Это значение больше 0,5 (тригонометрический круг имеет радиус, равный 1).
А угол мы смотрим соединяя начала координат и точку на круге, которую обозначила прямая, x=0,5.

Рисунок к задаче про датчик антенны
Рисунок к задаче

Видно, что косинус угла будет больше 0,5, если угол будет между -60^\circ и 60^\circ.

Запишем,

-60^\circ < 120^\circ/c \cdot t-45^\circ < 60^\circ

Решаем двойное неравенство:

\displaystyle -60^\circ+45^\circ < 120^\circ/c \cdot t < 60^\circ+45^\circ \\[5mm] -25^\circ < 120^\circ/c \cdot t < 105^\circ \\[5mm] \frac{-25^\circ}{120^\circ/c} < t < \frac{105^\circ}{120^\circ/c} \\[5mm] \frac{-5}{24}с<t<\frac{7}{8}с

Так как отрицательное время нам не нужно — мы рассматриваем только время в течение первой секунды, то выбираем значение от 0 до \displaystyle \frac{7}{8}с.

В задаче требуется подсчитать какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Составим пропорцию:

\displaystyle \frac{7}{8} с - x%, а 1c - 100%.

Тогда \displaystyle x=\frac{7}{8} \cdot 100%=7 \cdot 12,5%=87,5%.

Ответ: 87,5.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии