На координатной плоскости изображены векторы \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}. Найдите длину вектора \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}.
Решение
Для нахождения координат каждого из векторов \vec{a}, \vec{b}, и \vec{c}, мы будем вычитать координаты начальной точки из координат конечной точки для каждого вектора. Затем мы сложим координаты полученных векторов и найдем длину результирующего вектора.
Находим на картинке координаты начала и конца векторов.
1. Для вектора \vec{a}:
- Начальная точка: (2, 1)
- Конечная точка: (6, 5)
Координаты вектора \vec{a}:
\vec{a} = (6 - 2, 5 - 1) = (4, 4)2. Для вектора \vec{b}:
- Начальная точка: (-3, 4)
- Конечная точка: (6, 1)
Координаты вектора \vec{b}:
\vec{b} = (6 - (-3), 1 - 4) = (9, -3)3. Для вектора \vec{c}:
- Начальная точка: (-4, 2)
- Конечная точка: (-5, -4)
Координаты вектора \vec{c}:
\vec{c} = (-5 - (-4), -4 - 2) = (-1, -6)Теперь сложим координаты этих векторов:
\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (4, 4) + (9, -3) + (-1, -6) \\ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (4 + 9 - 1, 4 - 3 - 6) \\ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (12, -5)Для нахождения длины суммарного вектора \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} используем формулу Евклидовой нормы:
|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{12^2 + (-5)^2} \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{144 + 25} \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{169} \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 13Таким образом, длина вектора \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} равна 13.
Ответ: 13.
