Две подруги Аня и Юля задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1).
Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Аня и Юля сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 40 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 26 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 104 см.
Длина зонта в сложенном виде равна 14 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и пятой части длины спицы (зонт в пять сложений). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 2,3 см.
Задание 1
Длина зонта в сложенном виде равна 14 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и пятой части длины спицы (зонт в пять сложений). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 2,3 см.
Решение:
Пятая часть спицы будет равна
14 – 2,3 = 11,7 см
следовательно, длина всей спицы:
11,7∙5 = 58,5 см
Ответ: 58,5
Задание 2
Поскольку зонт сшит из треугольников, — рассуждала Аня, — площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Ани, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 55 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Высота h = 55 см, проведенная к основанию a = 40 см, дает площадь каждого сегмента, равную:
\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot h \cdot aТак как таких сегментов 8, то получаем полную площадь поверхности:
8S=4ha=4 \cdot 55 \cdot 40=8800 кв.смОкругляем до десятков, получаем 8800 кв. см.
Ответ: 8800
Задание 3
Юля предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами d/2 и R-h и гипотенузой R.
По теореме Пифагора можно записать равенство:
\displaystyle R^2=\frac{d^2}{4}+(R-h)^2 Решаем уравнение относительно R, имеем:
R^2=2704+R^2-52R+676 \\ 52R=3380 \\ R=65
Ответ: 65
Задание 4
Юля нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S=2 \pi Rh, где R — радиус сферы, a h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Юли. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение:
Подставим в формулу площади купола зонта числовые значения, получим:
S=2 \cdot 3,14 \cdot 65 \cdot 26 \approx 10613 кв.см.
Ответ: 10613
Задание 5
Рулон ткани имеет длину 30 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 27 зонтов, таких же, как зонт, который был у Ани и Юли.
Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1150 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение:
Для начала, найдем общую площадь ткани в квадратных сантиметрах. Для этого умножим длину рулона (30 м) на ширину (90 см) и переведем единицы измерения в квадратные сантиметры:
S = 30 \cdot 100 \cdot 90 = 270000 см. кв.
Площадь клиньев для 27 зонтов, равна:
27 \cdot 8 \cdot 1150 = 248400 см. кв.
Площадь обрезков:
270000 – 248400 = 21 600 см. кв.
Что составляет:
\displaystyle \frac{21600}{270000} \cdot 100%=8%
Ответ: 8