В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=7/8, AC=√15. Найдите AB.

В треугольнике ABC угол C равен 90°,

Решение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению катета к косинусу прилежащего угла, т.е. \displaystyle AB=\frac{AC}{\cos{A}}.

Косинус угла А найдем, используя основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1. Тогда

Ответ: 8.

Теория для закрепления

В прямоугольном треугольнике гипотенуза (самая длинная сторона) связана с катетами (другими двумя сторонами) и углами треугольника. Согласно теореме косинусов, для прямоугольного треугольника с гипотенузой c, катетами a и b, и углом β между гипотенузой и одним из катетов, справедливо следующее соотношение:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{β}

Однако, в случае прямоугольного треугольника, угол α является прямым углом (равным 90 градусам), и косинус прямого угла равен нулю. Поэтому уравнение упрощается до:

c^2 = a^2 + b^2

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов длин катетов:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Гипотенуза равна отношению катета к косинусу прилежащего угла (из определения косинуса угла):

\displaystyle c = \frac{a}{\cos{\alpha}}. Это надо запомнить