Задача. Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняется по закону \displaystyle v = v_0 \cos{\frac{2\pi t}{T}}, где t – время с момента начала колебаний, T = 2 с – период колебаний, v_0 = 1,6 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле \displaystyle E = \frac{mv^2}{2}, где m – масса груза в килограммах, v – скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 56 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Для нахождения кинетической энергии груза через 56 секунд после начала колебаний, сначала найдем скорость груза в этот момент времени, используя данное уравнение скорости:
\displaystyle v = v_0 \cos{\frac{2\pi t}{T}},где v_0 = 1,6 м/с, T = 2 с, а t = 56 с.
Подставим значения в уравнение:
\displaystyle v = 1,6 \cos{\frac{2\pi \cdot 56}{2}}.Упростим выражение под косинусом:
v = 1,6 \cos{56\pi}.Так как косинус является периодической функцией с периодом 2\pi, то \cos{56\pi} = \cos{0}, так как 56 делится нацело на 2 (число колебаний за 56 секунд). Известно, что \cos{0} = 1, поэтому:
v = 1,6 \cdot 1 = 1,6 м/с.Теперь, когда мы знаем скорость, мы можем вычислить кинетическую энергию груза:
\displaystyle E = \frac{mv^2}{2},где m = 0,25 кг, а v = 1,6 м/с.
Подставляем численные значения в формулу:
\displaystyle E = \frac{0,25 \cdot 1,6^2}{2} = \frac{0,25 \cdot 2,56}{2} = \frac{0,64}{2} = 0,32 джоулей.Кинетическая энергия груза через 56 секунд после начала колебаний составляет 0,32 джоуля.
Ответ: 0,32.
