Задача. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 5. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение
Для того чтобы сумма выпавших очков после двух бросков превысила число 5, в первом броске должно выпасть число от 1 до 5, так как если в первом броске выпадет 6, сумма очков уже будет больше или равна 5 и бросать второй раз не потребуется.
После того как в первом броске выпало число от 1 до 5, во втором броске должно выпасть число такое, чтобы сумма первого и второго броска была больше 5. Рассмотрим возможные варианты:
- Если в первом броске выпало 1, то во втором должно выпасть 5 или 6 (2 варианта).
- Если в первом броске выпало 2, то во втором должно выпасть 4, 5 или 6 (3 варианта).
- Если в первом броске выпало 3, то во втором должно выпасть 3, 4, 5 или 6 (4 варианта).
- Если в первом броске выпало 4, то во втором должно выпасть 2, 3, 4, 5 или 6 (5 вариантов)
- Если в первом броске выпало 5, то во втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 вариантов).
В первом броске с одинаковой вероятностью может выпасть любое число из 6. Значит, вероятность каждого из чисел равна \displaystyle \frac{1}{6}.
Во втором броске мы смотрим на количество значений, благоприятных нам. Тогда общая вероятность в каждой последовательной серии двух бросков:
\displaystyle P_1=\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} \\[5mm] P_2=\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} \\[5mm] P_3=\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} \\[5mm] P_4=\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \\[5mm] P_5=\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}Так как каждые два броска не зависят от двух других бросков, то вероятности мы складываем
\displaystyle \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6}+\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6}+\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6}+\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}+\frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6} = \frac{2+3+4+5+6}{36} = \frac{20}{36} = 0,56Ответ: 0,56.
