На координатной плоскости изображены векторы \vec{a} и \vec{b}. Найдите скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{2b}.
Решение:
Скалярное произведение двух векторов находится по формуле:
\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{2b}=x_{\vec{a}}\cdot x_{\vec{2b}}+y_{\vec{a}}\cdot y_{\vec{2b}}Таким образом, нашей задачей является определение координат вектора \vec{a}(x_{\vec{a}}, y_{\vec{a}}) и вектора \vec{2b}(x_{\vec{2b}}, y_{\vec{2b}}).
Для того, чтобы определить координаты вектора, найдем координаты точек начала и конца вектора.
\vec{a}=\vec{AB}
Координаты точки A: x_A=-2, y_A=5
Координаты точки B: x_B=-6, y_B=-4
Тогда координаты вектора \vec{a}:
x_{\vec{a}}=x_B-x_A=-6-(-2)=-4 \\ y_{\vec{a}}=y_B-y_A=-4-5=-9Аналогично находим координаты вектора \vec{b}.
Координаты точки C: x_C=6, y_C=2
Координаты точки D: x_D=1, y_D=-2
Тогда координаты вектора \vec{b}:
x_{\vec{b}}=x_D-x_C=1-6=-5 \\ y_{\vec{b}}=y_D-y_C=-2-2=-4Итак, получили:
\vec{a} (-4; -9) \\ \vec{b} (-5; -4)Находим 2\vec{b}:
2\vec{b}(-10, -8).Теперь можно вычислить скалярное произведение векторов:
\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{2b}=x_{\vec{a}}\cdot x_{\vec{2b}}+y_{\vec{a}}\cdot y_{\vec{2b}}=-4 \cdot (-10)+(-9)\cdot (-8)=40+72=112Ответ: 112.