На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов a и 2b

На координатной плоскости изображены векторы a и b. Найдите скалярное произведение векторов a и 2b.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{2b}$ .

Решение:

Скалярное произведение двух векторов находится по формуле:

\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{2b}=x_{\vec{a}}\cdot x_{\vec{2b}}+y_{\vec{a}}\cdot y_{\vec{2b}}

Таким образом, нашей задачей является определение координат вектора $\vec{a}(x_{\vec{a}}, y_{\vec{a}})$ и вектора $\vec{2b}(x_{\vec{2b}}, y_{\vec{2b}})$ .

Для того, чтобы определить координаты вектора, найдем координаты точек начала и конца вектора.

\vec{a}=\vec{AB}

Координаты точки A: $x_A=-2, y_A=5$

Координаты точки B: $x_B=-6, y_B=-4$

Тогда координаты вектора $\vec{a}$ :

x_{\vec{a}}=x_B-x_A=-6-(-2)=-4 \\  y_{\vec{a}}=y_B-y_A=-4-5=-9

Аналогично находим координаты вектора $\vec{b}$ .

Координаты точки C: $x_C=6, y_C=2$

Координаты точки D: $x_D=1, y_D=-2$

Тогда координаты вектора $\vec{b}$ :

x_{\vec{b}}=x_D-x_C=1-6=-5 \\  y_{\vec{b}}=y_D-y_C=-2-2=-4

Итак, получили:

\vec{a} (-4; -9) \\ \vec{b} (-5; -4)

Находим $2\vec{b}$ :

2\vec{b}(-10, -8)

Теперь можно вычислить скалярное произведение векторов:

\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{2b}=x_{\vec{a}}\cdot x_{\vec{2b}}+y_{\vec{a}}\cdot y_{\vec{2b}}=-4 \cdot (-10)+(-9)\cdot (-8)=40+72=112

Ответ: 112.