Задача. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 217 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле \displaystyle v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}, где c = 1500 м/с — скорость звука в воде, f_0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 12 м/с.
Решение
Для решения этой задачи нам нужно найти частоту отражённого сигнала f, зная скорость погружения батискафа v и исходную частоту f_0. По условию задачи дана формула для вычисления скорости погружения батискафа:
\displaystyle v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}где
- c = 1500 м/с — скорость звука в воде,
- f_0 = 217 МГц — частота испускаемых импульсов,
- f — искомая частота отражённого сигнала,
- v = 12 м/с — скорость погружения батискафа.
Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно f:
\displaystyle 12 = 1500 \cdot \frac{f - 217}{f + 217}Преобразуем уравнение, чтобы выразить f:
\displaystyle \frac{f - 217}{f + 217} = \frac{12}{1500} \\[5mm] f - 217 = \frac{12}{1500} \cdot (f + 217) \\[5mm] f - 217 = \frac{12f}{1500} + \frac{12 \cdot 217}{1500}Умножим обе стороны на 1500, чтобы избавиться от дроби:
1500f - 1500 \cdot 217 = 12f + 12 \cdot 217Перенесем все члены с f на одну сторону, а числовые члены на другую:
1500f - 12f = 12 \cdot 217 + 1500 \cdot 217 \\ 1488f = 217 \cdot (12 + 1500) \\ 1488f = 217 \cdot 1512Теперь разделим обе части на 1488:
\displaystyle f = \frac{217 \cdot 1512}{1488}Выполним деление:
\displaystyle f = 217 \cdot \frac{1512}{1488}Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 24:
\displaystyle f = 217 \cdot \frac{63}{62}Число 217 делится на 31, и число 62 делится на 31. Сократим и получим:
\displaystyle f = 7 \cdot \frac{63}{2}=3,5 \cdot 63=220,5 МГц.Таким образом, частота отражённого сигнала примерно равна 220,5 МГц.
Ответ: 220,5.