Найдите точку максимума функции y = (2x — 1)cos x — 2sin x + 9

Найдите точку максимума функции y = (2x - 1)cos x - 2sin x + 9 ЕГЭ

Задание. Найдите точку максимума функции y = (2x - 1) \cos x - 2 \sin x + 9, принадлежащую промежутку \displaystyle (0; \frac{\pi}{2}).

Решение

Давайте найдем точку максимума функции y = (2x - 1) \cos x - 2 \sin x + 9 на интервале \displaystyle (0; \frac{\pi}{2}).

Сначала находим первую производную функции y:

\displaystyle y' = ((2x - 1) \cos x - 2 \sin x + 9)' \\ y' = 2 \cos x - (2x - 1) \sin x - 2 \cos x \\ y' = - (2x - 1) \sin x

Теперь находим критические точки, устанавливая производную равной нулю:

- (2x - 1) \sin x = 0

Для того чтобы это выражение было равно нулю, либо \sin x = 0, либо 2x - 1 = 0. На интервале \displaystyle (0; \frac{\pi}{2}) синус равен нулю только в точке x = 0, которая не входит в наш интервал, поэтому рассматриваем только второе условие:

2x - 1 = 0 \\ 2x = 1 \\ x = \frac{1}{2}=0,5

Таким образом, единственная критическая точка внутри интервала \displaystyle (0; \frac{\pi}{2}) — это \displaystyle x = \frac{1}{2}. Чтобы проверить, является ли этот x максимумом, надо определить знаки производной до и после этой точки. Поскольку \sin x положителен на \displaystyle (0; \frac{\pi}{2}), а 2x - 1 меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через \displaystyle x = \frac{1}{2}, производная y' меняет знак с плюса на минус. Это означает, что функция достигает максимума при x = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ольга Викторовна Андрющенко

Андрющенко Ольга Викторовна - математик и физик, к.ф.-м.н., доцент.

Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии