Найдите точку максимума функции y = (2x - 1)cos x

Найдите точку максимума функции y = (2x — 1)cos x — 2sin x + 9

Задание. Найдите точку максимума функции $y = (2x - 1) \cos x - 2 \sin x + 9$ , принадлежащую промежутку $\displaystyle (0; \frac{\pi}{2})$ .

Решение

Давайте найдем точку максимума функции $y = (2x - 1) \cos x - 2 \sin x + 9$ на интервале $\displaystyle (0; \frac{\pi}{2})$ .

Сначала находим первую производную функции $y$ :

\displaystyle y' = ((2x - 1) \cos x - 2 \sin x + 9)' \\ y' = 2 \cos x - (2x - 1) \sin x - 2 \cos x \\ y' = - (2x - 1) \sin x

Теперь находим критические точки, устанавливая производную равной нулю:

- (2x - 1) \sin x = 0

Для того чтобы это выражение было равно нулю, либо $\sin x = 0$ , либо $2x - 1 = 0$ . На интервале $\displaystyle (0; \frac{\pi}{2})$ синус равен нулю только в точке $x = 0$ , которая не входит в наш интервал, поэтому рассматриваем только второе условие:

2x - 1 = 0 \\ 2x = 1 \\ x = \frac{1}{2}=0,5

Таким образом, единственная критическая точка внутри интервала $\displaystyle (0; \frac{\pi}{2})$ — это $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ . Чтобы проверить, является ли этот $x$ максимумом, надо определить знаки производной до и после этой точки. Поскольку $\sin x$ положителен на $\displaystyle (0; \frac{\pi}{2})$ , а $2x - 1$ меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ , производная $y'$ меняет знак с плюса на минус. Это означает, что функция достигает максимума при $x = 0,5$ .

Ответ: 0,5.