Задача. Материальная точка движется прямолинейно по закону \displaystyle x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 4t^2 - 3t + 15, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 7 с.
Решение
Скорость материальной точки в любой момент времени t можно найти, взяв производную от функции x(t) по времени. Это даст нам функцию скорости v(t).
Дана функция координаты:
\displaystyle x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 4t^2 - 3t + 15Возьмем производную от x(t) по t :
\displaystyle v(t) = x'(t) = \left(-\frac{1}{3}t^3\right)' + (4t^2)' - (3t)' + (15)'Производная от t^n по t равна n \cdot t^{(n-1)}, а производная от константы равна нулю. Используя эти правила, получим:
v(t) = -t^2 + 8t - 3Теперь подставим t = 7 секунд в функцию скорости, чтобы найти скорость в этот момент времени:
v(7) = -(7)^2 + 8 \cdot 7 - 3 \\ v(7) = -49 + 56 - 3 \\ v(7) = 7 - 3 \\ v(7) = 4Таким образом, скорость материальной точки в момент времени t = 7 секунд составляет 4 м/с.
Ответ: 4.
