На координатной плоскости изображены векторы а и b

На координатной плоскости изображены векторы а и b. Найдите косинус угла между векторами а и b

Задача. На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ .

На координатной плоскости изображены векторы а и b. Рисунок к задаче. — Рисунок к задаче

Решение

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , используем формулу, связывающую скалярное произведение векторов с косинусом угла между ними:

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha

где $\alpha$ — угол между векторами.

Для начала найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ , вычитая координаты начала векторов из координат их концов:

\vec{a} = (1, 5) - (3, -1) = (1 - 3, 5 - (-1)) = (-2, 6) \\ \vec{b} = (5, -3) - (-7, 1) = (5 - (-7), -3 - 1) = (12, -4)

Следующим шагом найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ :

\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 12 + 6 \cdot (-4) = -24 - 24 = -48

Длины векторов равны:

|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \\ |\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160}

Теперь можем найти косинус угла между векторами:

\displaystyle \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-48}{\sqrt{40} \cdot \sqrt{160}}

Прежде чем продолжить вычисления, упростим корни:

\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2 \sqrt{10} \\ \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4 \sqrt{10}

Теперь подставим упрощенные корни в формулу:

\displaystyle \cos \alpha = \frac{-48}{2 \sqrt{10} \cdot 4 \sqrt{10}} = \frac{-48}{8 \cdot 10} = \frac{-6}{10} = -0,6

Таким образом, косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен -0,6. Это означает, что угол между векторами тупой, поскольку косинус угла отрицательный.

Ответ: -0,6.