На координатной плоскости изображены векторы a, b и c. Найдите длину вектора a+b-c.

Задача. На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ и $\vec{c}$ . Найдите длину вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ .

Решение

Координаты векторов определяются как разность координат конца и начала вектора.

Рисунок к задаче. На координатной плоскости изображены векторы a, b и c — Рисунок к задаче.

Для вектора $\vec{a}$ :
Конец вектора $\vec{a}$ имеет координаты (-7, -1), а начало (-3, 4) .
Координаты вектора $\vec{a}$ будут равны (-7-(-3), -1-4) , что равно (-4, -5) .

Для вектора $\vec{b}$ :
Конец вектора $\vec{b}$ имеет координаты (5, 5), а начало (-4, 5) .
Координаты вектора $\vec{b}$ будут равны (5-(-4), 5-5) , что равно (9, 0) .

Для вектора $\vec{c}$ :
Конец вектора $\vec{c}$ имеет координаты (1, 6), а начало (4, -4) .
Координаты вектора $\vec{c}$ будут равны (1-4, 6-(-4)) , что равно (-3, 10) .

Теперь сложим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и вычтем координаты вектора $\vec{c}$ :
$\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = (-4, -5) + (9, 0) - (-3, 10)=(5-(-3), -5-10) = (5+3, -5-10) = (8, -15)$ .

Теперь найдём длину полученного вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ с координатами (8, -15) по формуле длины вектора:
$|\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}$ .

Длина вектора $\sqrt{289}$ равна 17.

Ответ: 17.